이과생의 문화공간

[이전 포스팅]에서 정적분에 대해서 알아보았다. 그러나 정적분의 계산은 우리가 알고 있는 시그마 합공식을 이용하여 일부는 쉽게 풀 수 잇지만 간단한 형태가 아니라면 쉽지 않다. 이 때 우리는 미적분의 기본정리를 이용 한다면 보다 쉬운 계산을 할 수 있다.

미적분의 기본정리

(The Fundamental Theorem of Calculus)

 우선 결론부터 말하자면 미적분의 기본정리는 다음과 같다.

 이 때 함수 F는 여러가지가 될 수 있는데 무엇이 되어도 상관없다. 그 이유는 결국 달라지는 것은 상수부분이고 이는 뺄셈을 할 때 상쇄가 되기 때문이다. 예를 들어서 f=1이라고 하면 F는 x+c가 된다. 이 때 c는 상수이다. 그렇다면 결국 a에서 b까지의 f의 정적분은 F(b)-F(a)=b+c-(a+c)=b-a 가 된다. 즉 c는 무엇이 되도 상관이 없다.

미적분의 기본정리 증명

 우리는 미적분의 기본정리를 증명하기 위해 다음을 먼저 보이고 이를 통해 미적분의 기본정리가 참임을 보일 것이다.

이 때 f는 정의역 구간에서 연속이어야 한다. 지금부터 이를 증명하도록 하겠다.

 간단히 증명과정을 설명하자면 0보다 큰 임의의 실수 h가 있다고 하자. 이 때 첫째줄처럼 표현하고 이를 정적분의 기본성질에 의해 두번째줄과 같이 변형할 수 있다.([이전 포스팅]참고) 그리고 우리가 원하는 형태는 g의 미분형태이기 때문에 미분계수의 정의의 형태를 만들어야 하므로 양변을 h로 나눠준다.

 잠깐 식을 놔두고 구한식의 범위를 한번 정의해보자. 구간 [x,x+h]내에서 함수값이 가장 작은 f(u)와 가장 큰 f(v)가 있다. 정적분이 그래프와 축 사이의 면적이므로 밑에서 다섯번째 줄과 같은 부등식을 이끌 수 있다. 이 때 h는 양수이므로 모두를 h로 나누어도 부등호의 영향을 받지 않는다. 그리고 여기서 h를 0으로 보내주면 u와 v가 x로 가므로 결국 우항 좌항 모두 f(x)가 되버리고 가운데 값은 미분계수의 정의이므로 우리가 원하는 결과를 이끌 수 있다.

 우리는 이 결과를 통해 미분의 기본정리가 참임을 다음과 같이 보일 수 있다.

세번째 줄에서 a부터 a까지의 정적분이 0임은 정적분이 그래프의 밑넓이를 뜻함을 생각하면 쉽게 알 수 있다. 

정적분의 정의

 적분이라는 개념은 넓이, 부피를 구하기 위해 시작되었다. 정적분 또한 마찬가지이다. 정적분은 간단히 말하자면 그래프위의 특정 구간에서 축과 그래프 사이의 면적을 구하기 위해 생겨났다. 정적분의 정의는 다음과 같다.

 함수 f가 구간 a≤x≤b 에서 정의 된다고 하자. 이 때 다음을 함수 f에서 a에서 b까지의 정적분이라고 한다.

 이의 값은 아까도 말했던 것 처럼 그래프와 x축 사이의 넓이가 된다. 이는 우변을 보면 쉽게 확인할 수 있다. △x와 함수값을 곱하면 짧은 구간의 넓이가 나오고 그것의 합이므로 그래프와 x축 사이의 넓이가 되는 것이다.

 이 때 함수값이 음수인 부분, 즉 x축 아래에 있는 부분은 음수가 되므로 주의하도록 하자.

정적분의 기본 성질

 정적분을 계산할 때 다음의 기본 성질을 이용하면 좀 더 깔끔한 형태로 바꾸거나 간단한 계산이 가능하다.

 1번 같은 경우에는 함수값이 c로 고정이므로 c와 구간의 곱으로 나타낼 수 있다. 2번과 3번은 위의 정적분읜 정의와 시그마의 성질을 생각하면 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

 4번의 경우는 기하학적인 의미로 확인을 할 수 있다. 구간 [a,c]의 넓이는 [a,b]의 넓이와 [b,c]의 넓이의 합과 같음은 자명하다. 

이번 포스팅에서는 부정형과 로피탈 정리에 대해 알아보는 시간을 가져보도록 하자. 이번에 배울 내용은 간단히 말해 함수의 극한을 구할 때 생길 수 있는 어려움을 해결 해 주는 도구이다.

부정형(Indeterminate Form)

 함수의 극한을 구하다 보면 극한값을 가지는지 가지지 않는지 헷갈리는 형태가 생긴다. 예를 들어서 다음과 같은 함수의 극한을 구한다고 가정해 보자.

 분모도 무한 분자도 무한이기 때문에 우리는 이것이 함수값을 갖는지 0인지 아니면 무한으로 발산하는지 알 수가 없다. 또 다른 한가지 예를 더 들어보겠다.

 분모 분자 둘다 0의 꼴이어서 방금과 마찬가지로 극한이 어떤 값을 가질지 알 수가 없다. 식의 변형을 통해 구해진다면 다행이지만 대부분의 경우 변하여 값을 구하기란 쉽지 않다. 우리는 이러한 형태를 부정형(Indeterminate form)이라고 한다. 정확히 정의하자면 다음을 부정형이라고 부른다.

 여기서 주의할 점은 두번째 줄에서 f(x)가 양의 무한이라고 해서 g(x)가 꼭 양의 무한인 것은 아니다. 반대로 f(x)가 음의 무한이라고 해서 g(x)가 음의 무한인 것은 아니다. (+,+), (-,-), (+,-), (-,+) 모두 부정형이다.

로피탈 정리(L'Hospital's Rule)

 그렇다면 부정형을 복잡한 식의 변형 없이 극한값을 구할 수는 없을까? 이 때 필요한 것이 바로 이 로피탈 정리(L'Hospital's Rule)이다. 지금부터 로피탈 정리가 무엇이고 어떻게 증명되는지 알아보도록 하자.

 함수 f와 g가 미분 가능하고 g'(x)가 a 근처에서 0이 아닐 때 부정형에 대해 다음이 성립한다.

아까 위에서 보여준 부정형의 예시를 통해 로피탈 정리를 어떻게 사용하는지 알아보자.

 위처럼 로피탈 정리를 두 번 사용하면 이 극한이 양의 무한임을 알 수 있다. 그렇다면 로피탈 정리는 어떻게 증명할 수 있을까? 사실 로피탈 정리의 증명은 생각보다 복잡하다. 코시 평균값 정리를 사용하여 증명을 하는데 이 과정이 꽤나 복잡하다. 그렇기 때문에 이후 코시 평균값 정리를 다룰 기회가 있으면 그 때 다시 증명하도록 하고 지금은 0/0꼴에서의 증명만 하도록 하겠다.

 0/0 꼴일 때는 도함수의 정리를 사용하면 매우 간단하게 증명이 가능하다.