미분-미분계수와 도함수 그리고 미분 가능 조건

 미분은 수학에서 그리고 과학에서 매우 기초적이고 필수적인 계산도구이다. 정확히 말하자면 미분은 미분계수와 도함수를 구하는 계산 과정이다. 대부분의 사람들은 미분을 할 줄은 알지만 미분계수의 정의에 대해서 정확하게 모르는 경우가 많다. 이번 포스팅에서는 미분계수에 대한 정확한 정의와 도함수에 대해 자세히 알아보도록 하겠다.

미분계수의 정의(Definition of Derivative)

 미분계수란 간단하게 말해서 함수의 순간 변화율을 뜻한다. 그렇다면 함수의 순간 변화율을 어떻게 구할 수 있을까? 우리는 함수의 순간 변화율을 함수의 평균 변화율의 극한으로 생각할 수 있다. 

 첫번째 줄이 함수의 평균 변화율이고 아래의 것이 그것의 극한 즉 함수의 순간 변화율 혹은 미분계수를 뜻한다. 이 때 오해하면 안되는 것이 x0는 정의역 내의 특정한 수이지 미지수 x와는 다르다. (뒤에서도 다룰 것이지만 x0대신 미지수x가 들어가게 되면 이것이 도함수가 된다.) 즉 미분 계수의 정의는 함수의 정의역 내의 어떠한 수, x0에서의 순간적인 변화율을 나타낸다. 미분계수는 위와 같은 표현 이외에도 다음과 같이 표현할 수 있다.

  우리는 이것을 함수 f의 x0에서의 미분계수라고 읽는다.

도함수(The Derivative as a Function)

 아까 위에서도 잠깐 언급하였는데 미분계수에서 함수안의 값이 특정 값이 아니면 즉 미지수일 때 우리는 이것을 도함수라고 한다. 쉽게 말해서 미분계수는 도함수라는 함수의 함수 값인 것이다. 표기 및 구하는 방법은 미분계수와 동일하며 다음과 같다.

  미분을 처음 접하는 사람에게는 이것 만으로 이해가 어려울 수 있을 것 같다는 생각에 예를 하나 들어 보여주겠다.

간단한 함수의 도함수를 구하는 과정이다. 단순한 형태의 함수여서 도함수를 구하는 과정은 그렇게 어렵지 않았지만 함수의 형태에 따라 계산 과정이 매우 복잡해질 수도 있다. 그런 함수같은 경우에는 미분계산을 공식처럼 만들어 놓았다. 이후 포스팅에서는 이에 대해서 잠깐 다룰 것이다.

미분 가능(Differentiable) 조건

 그렇다면 모든 함수가 모든 구간에서 미분이 가능한 것일까? 이번 목차의 제목을 보면 답은 "아니다"라는 것을 알 수 있을 것이다. 특정 구간에서 미분이 가능 하려면 그 구간 내에서 딱 두가지만 만족 하면 된다. 함수가 연속 해야하며 첨점이 없어야 한다. 이 두조건이 각각 어떤 것인지 알아보자. 

 함수의 연속성에 관해서는 이전 포스팅에서 한번 다루적이 있다. 그렇기 때문에 간략하게 설명을 하겠다. 자세한 정보를 얻고 싶다면 이전 포스팅을 참고 하도록 하자. 함수가 연속하다는 말은 쉽게 말해서 그래프로 봤을 때 끊긴 부분이 없어야 한다는 것이다. 이를 수식으로 정리하면 다음과 같다. (정확히 말하자면 함수 연속성의 정의이다.)

 왜 이 조건이 만족해야 하냐면 끊긴 부분에 대해서는 순간변화율이 정의가 안된다. 예를 들어 h가 0으로 갈 때 f(1-h)=-1, f(1)=1이라고 하자 그렇다면 f'(1)은 무엇인가? 답은 "존재하지 않는다."이다. 이런 상황처럼 함수 값이 순간적으로 점프하는 경우에서는 함수의 순간변화율을 정의할 수 없기 때문에 함수가 어떤 닫힌 구간에서 연속하지 않는다면 그 함수는 그 구간내에서 미분이 불가능 하다.

 두번째는 첨점이 없어야 한다는 것인데 그렇다면 첨점이란 정확히 무엇인가? 첨점은 쉽게 말해서 그래프로 봤을 때 뾰족한 부분을 말한다. "함수 f는 a에서 첨점을 갖는다"를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

 위의 식에서 알 수 있듯이 a에서 도함수의 좌극한과 우극한의 함수 값이 서로 다르기 때문에 f'(a)가 정의 될 수가 없다. 그렇기 때문에 미분이 가능하기 위한 조건에 첨점이 없다는 조건이 들어간 것이다.

 이번 포스트에서는 미분, 미분계수, 도함수가 무엇인지에 대해 자세히 알아보고 미분 가능 조건에 대해서도 알아보았다. 하지만 매번 미분을 할 때마다 도함수의 정의 즉 변화율의 극한을 통해 계산하기에는 시간이 너무 오래 걸린다. 또한 앞서 예로 본 것처럼 간단한 함수는 쉽게 구할 수 있지만 조금 더 복잡해지면 도함수의 정의를 통해 구하는 것은 매우 어려워진다. 그렇기 때문에 "미분 공식"이라는 것이 있다. 다음 포스트부터 당분간 미분 공식에 대하여 다루어 보도록 하겠다.